Mediciones con errores aleatorios

Indice

• Error de medición como variable aleatoria (VA)
• Representación gráfica de VA: histograma
• Sumas de VA \rightarrow Gaussiana
• Intervalos probabilisticos: ¿por qué no usar máx-mín?
• Resumiendo una VA: promedio y desviación estándar
• Mejorando la precisión: error del promedio

Variable Aleatoria

Variable aleatoria (VA)

• Describe posibles resultados de un experimento.
• Función de distribución de probabilidad: valor \rightarrow probabilidad

Ejemplo: resulltado al tirar un dado.

VA Discreta

VA Continua

Error de medición como VA

X = x_0 + \epsilon

nombre	tipo	descripción
X	VA	lo que medimos
x_0	constante	lo que queremos medir
\epsilon	VA	error de medición

Ejemplo

Si conocemos que x_0 = 10,
podemos calibrar \epsilon

y, en este caso,
reducir el error
✨promediando✨

Estimando la distribución

Estimando la distribución discreta

1. Repetimos el experimento
2. Contamos cuantas veces sale cada valor
3. Normalizamos por la cantidad de mediciones

A más mediciones,
más se acerca al valor esperado.

Estimando la distribución continua

1. Repetimos el experimento
2. Contamos cuantas veces sale cada valor en un intervalo (histograma)
3. Normalizamos por la cantidad de mediciones y el ancho del intervalo

Sumas de Variables Aleatorias

Suma de 2 dados

• Tiramos 2 dados: \{ X_1, X_2 \}
• Sumamos: Y = X_1 + X_2
• Y es otra variable aleatoria:
  • ¿Valores posibles?
  • ¿Probabilidades?

Sumar “deforma” la distribución.

Teorema central del límite

La suma de N variables tiende a una distribución gaussiana para N \to \infty

Variable aleatoria

Y = \lim_{N \to \infty} \sum_{i=1}^N X_i

Función de distribución

f(y) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{y - \mu}{\sigma}\right)^2}

Gaussiana

• Centrada en \mu
• De ancho \sigma

¿Por qué usamos la gaussiana?

La gaussiana:

• surge de la suma de N \to \infty,
• su rango va desde -\infty a \infty.

Las mediciones no.

Pero es una buena aproximación N \ll \infty

Ejemplo: suma de N dados

y comparación con una gaussiana.

Máx-mín en la suma de 10 dados

El experimento Y es:

Y = \sum_{i=1}^{10} X_i

X_i: resultado de la i-ésima tirada.

• ¿Valores posibles?
• ¿Rango (máx - mín)?
• Con N experimentos de Y,
  ¿cuál es el mínimo observado?

El rango depende (mucho) de N \rightarrow Necesitamos otra medida del ancho.

Resumiendo una Variable Aleatoria

Promedio \bar{x} y desviación estándar \sigma

Por el método de cuadrados mínimos.

\phantom{f(c) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (}x_i \phantom{- c)^2} \phantom{f(c) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (}x_i \phantom{-} c\phantom{)^2} \phantom{f(c) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (}x_i - c\phantom{)^2} \phantom{f(c) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N} (x_i - c)^2 \phantom{f(c) =} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - c)^2 f(c) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - c)^2

f(c) distancia cuadrática media a c

Minimizar

Buscamos el mínimo:

\frac{df}{dc}\Big|_{\small \bar{x}} = 0

Promedio

Medida de centralidad

\bar{x} = \sum_{i=1}^N \frac{x_i}{N}

Varianza

Medida de dispersión

\sigma^2 = f(\bar{x}) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x})^2

Promedio y esperanza

Tiro 5 dados y obtengo \{1, 1, 4, 4, 4\}.

El promedio \bar{x} es:

\begin{align*} \bar{x} &= (1 + 1 + 4 + 4 + 4)/ 5 = 2.8 \\ &= (2 \cdot 1 + 3 \cdot 4) / 5 \\ &= \tfrac{2}{5} \cdot 1 + \tfrac{3}{5} \cdot 4 \\ &= f_1 \cdot 1 + f_4 \cdot 4 \\ &= \sum_{x=1}^6 f_x \cdot x \end{align*}

la suma de los valores x
pesada por su frecuencia f_x.

Esperanza

Para una variable aleatoria X,

\text{E[X]} = \sum_x p_x \cdot x \phantom{= 3.5}

Para el dado,

\text{E[X]} = \sum_{i=1}^6 p_i \cdot i = 3.5

El promedio tiene un error.

Error del promedio

El promedio es una medición indirecta:

\bar{x} = \bar{x}(x_1, \ldots, x_N) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i

Por propagación de errores, se llega a:

\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma_x}{\sqrt{N}}

Resumen

Resumen

Medición con error aleatorio

1. Estimar distribución:
   • medir muchas veces
2. Visualizar distribución:
   • histograma
3. Resumir distribución (si se puede):
   • centro: promedio \bar{x}
   • ancho: desviación estándar \sigma

Reportar intervalo (probabilistico)

La variable subyacente…

…es aleatoria

Ejemplo: es un dado

\bar{x} \pm \sigma_x

…tiene un error aleatorio

y reducimos el error promediando:

\bar{x} \pm \sigma_{\bar{x}} = \bar{x} \pm \frac{\sigma_x}{\sqrt{N}}

que tiene una distribución gaussiana.