Cifras significativas

Si queremos reportar un resultado cuyo valor es x = 0.56789 \pm 0.12345, suele ser irrelevante reportar tantos decimales. El intervalo reportado no cambia significativamente (Figura 1), pero se dificulta la lectura de la medición. Para ello, se suele reportar las mediciones con 1, 2 o hasta 3 cifras significativas.

import matplotlib.pyplot as plt

x = 0.56789
dx = 0.12345

cant_decimales = range(1, 6)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 2.5))
ax.set(
    xlim=(0, 1),
    ylim=(0, max(cant_decimales) + 1),
    xlabel="Magnitud",
    ylabel="Cantidad de decimales",
    yticks=cant_decimales,
)
for i in cant_decimales:
    ax.errorbar(y=i, x=round(x, i), xerr=round(dx, i), capsize=8)

Figura 1: Grafico de los intervalos correspondientes a la medición 0.5678 \pm 0.1234 redondeada a distinta cantidad de decimales.

1 Método sistemático

Si queremos expresar el resultado con 2 cifras significativas, el método sistemático para ello es el siguiente.

Supongamos que se midió x con una incerteza \sigma_x:

\begin{align*} x &= 1 2345 .6 \, \text{cm} \\ \sigma_x &= \phantom{1}6789 \phantom{.6} \, \text{mm} \end{align*}

Primero, reescribimos la incerteza en notación científica:

\text{mantisa} \cdot 10^{\text{exponente}}

tal que 0.1 \leq \text{mantisa} < 1. Es decir, que la mantisa sea de la forma 0.d_1 d_2 d_3 \ldots donde d_1 es un dígito distinto de 0:

\begin{align*} x &= 1234 5.6 \phantom{789 \cdot 10^4} \, \text{cm} \\ \sigma_x &= \phantom{1234} 0.6 789 \cdot 10^4 \, \text{mm} \end{align*}

Después, reescribimos x en notación cientifica utilizando la misma unidad y exponente que para \sigma_x:

\begin{align*} x &= 12.3456 \cdot 10^4 \, \text{mm} \\ \sigma_x &= \phantom{1}0.6789 \cdot 10^4 \, \text{mm} \end{align*}

Luego, redondeamos ambas mantisas a 2 decimales:

\begin{align*} x &= 12.35 \cdot 10^4 \, \text{mm} \\ \sigma_x &= \phantom{1}0.68 \cdot 10^4 \, \text{mm} \end{align*}

Dado que nos quedó un exponente mayor a 3, podemos cambiar la unidad de milímetros a metros:

\begin{align*} x &= 12.35 \cdot 10^1 \, \text{m} \\ \sigma_x &= \phantom{1}0.68 \cdot 10^1 \, \text{m} \end{align*}

Finalmente, deshacemos la notación exponencial:

\begin{align*} x &= 123.5 \, \text{m} \\ \sigma_x &= \phantom{12}6.8 \, \text{m} \end{align*}

Ahora, podemos escribir el resultado como:

x = (123.5 \pm 6.8) \, \text{m}