En general, el periodo T de un péndulo de largo L depende del ángulo máximo \theta_{max} de oscilación. Para ángulos pequeños, este se puede aproximar por
T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}} \tag{1}
donde g es la aceleración de la gravedad. Es decir, si se cuadriplica el largo, se duplica el periodo.
¿Cuál es el error de medición \sigma_T de un periodo T? ¿Tiene alguna relación con su tiempo de respuesta para accionar el cronómetro?
¿Hay un error de exactitud en la medición del periodo?
¿Cómo varía este error de medición \sigma_T con la duración del periodo? ¿Puede reutilizar su calibración del error para una medición del doble de periodo?
¿De qué maneras se puede mejorar la precisión del periodo? ¿Hasta donde sirve mejorar la precisión para estimar g?
Dado el valor más preciso de g que puedan obtener, ¿coincide con el valor esperado?
Se recomienda utilizar un cronómetro digital en la computadora para poder exportar fácilmente las mediciones a un archivo y analizarlas. Pueden encontrar uno aquí.
Antes de realizar muchas mediciones, verifiquen que las puedan exportar correctamente e importar en Python.
A partir de la Ecuación 1, se puede obtener la aceleración de la gravedad g a partir de mediciones del largo L y el periodo T:
g = (2\pi)^2 \frac{L}{T^2} \tag{2}
Si conoce los errores \sigma_L y \sigma_T de L y T, respectivamente, ¿cómo podría estimar el error \sigma_g de g? Utilice la fórmula de propagación de errores independientes (Bevington y Robinson 2003, 39):
\sigma_y^2 = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial x_i} \sigma_{x_i} \right)^2 \tag{3}
donde y = f(x_1, \ldots, x_n).
Reescriba dicha expresión en términos de los errores relativos: \frac{\sigma_g}{g}, \frac{\sigma_L}{L}, y \frac{\sigma_T}{T}.
En las siguientes actividades, vamos a reducir el error de medición de \sigma_T. ¿Hasta cuánto es útil reducir \sigma_T? Es decir, que la reducción en \sigma_T produzca un cambio en \sigma_g (o \frac{\sigma_g}{g}).
Asuma que trabajamos con un péndulo de L = 1 \, m, con un error de medición \sigma_L = 1 \, mm y, dado que g \approx 9.8 \, m/s^2, esperamos medir un periodo de T = 2 \, s.
Como se dijo anteriormente, periodo del péndulo depende del ángulo. La aproximación que vamos a utilizar para calcular g (Ecuación 2) solo vale cuando el ángulo es pequeño. ¿Cuánto es pequeño? Depende de la precisión con la que midan.
En la Figura 2, se muestra el error (de exactitud) relativo entre el periodo bajo la aproximación de ángulos pequeños (Ecuación 1) y el periodo “real” 1 sin dicha aproximación. Si medimos el periodo con un error (de precisión) relativo del 1 \% para oscilaciones de ángulo mayor a 20 \degree, el intervalo que reportemos no va a coincidir con el valor que esperábamos (Ecuación 1), sino que va a estar centrado en el valor real de periodo. Por lo tanto, no vamos a poder usar la Ecuación 2 para obtener la aceleración de la gravedad g.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import ellipk
def period_factor(angle):
return ellipk(np.sin(angle / 2) ** 2) / ellipk(0)
angle = np.linspace(0, 25, 1000)
period = period_factor(np.deg2rad(angle))
plt.figure(figsize=(6, 3))
plt.plot(angle, period)
plt.grid()
plt.xlabel(r"Ángulo ($\degree$)")
plt.ylabel("Periodo relativo")
None
Para evaluar la precisión de una medición con errores aleatorios, podemos repetir el experimento múltiples veces y observar como se distribuyen los posibles resultados.
Supongamos que realizamos N mediciones \{ T_1, \ldots, T_N \}.
Una opción2 es tomar los valores mínimo T_{min} y máximo T_{max} y asignar como nuestra incerteza para el periodo T_{max} - T_{min}. Esta es una medida que es útil cuando las mediciones se distribuyen de manera uniforme en este rango. ¿Es este el caso para nuestras mediciones?
Para visualizar como se distribuyen nuestras mediciones, hay que separar en dos casos:
para una variable discreta, como los números que salen al tirar dados, podemos simplemente contar cuantas veces salió cada valor,
para una variable continua, como el tiempo, tenemos que usar otra estrategia ya que es poco probable que se vuelva a repetir exactamente la misma medición.
Una forma es usar un histograma, que divide el rango de nuestra variable en segmentos disjuntos y cuenta cuantas mediciones caen en cada segmento. En Python, una forma simple de construir y visualizar un histograma es la siguiente:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
datos = np.loadtxt("mis_datos.txt")
plt.hist(datos, bins="auto")donde bins es el parámetro que controla la cantidad o posiciones de los segmentos.
bin. ¿Cambian las alturas del histograma? ¿Por qué? Probar con datos simulados.Para hacer un histograma de dos bins, uno entre [0, 0.5) y el otro entre [0.5, 1], usamos:
plt.hist(datos, bins=[0, 0.5, 1])Ya hay funciones para generar estas listas de números:
np.linspace(start, stop, num), genera num números equiespaciados entre start y stop.
Si pasamos un número de bins:
plt.hist(datos, bins=10)es equivalente a:
plt.hist(datos, bins=np.linspace(datos.min(), datos.max(), 10))Si queremos resaltar la distribución en el eje x, podemos alinear dos gráficos verticalmente que compartan el eje x.
fig = plt.figure(figsize=(6, 3))
axes = fig.subplots(nrows=2, sharex=True)
axes[0].hist(datos_1, bins="auto")
axes[1].hist(datos_2, bins="auto")
fig.supylabel("Cantidad de mediciones")
None
Si queremos resaltar las alturas, podemos alinear dos gráficos horizontalmente que compartan el eje y.
fig = plt.figure(figsize=(6, 3))
axes = fig.subplots(ncols=2, sharey=True)
axes[0].hist(datos_1, bins="auto")
axes[1].hist(datos_2, bins="auto")
fig.supylabel("Cantidad de mediciones")
None
A veces, puede ser más claro superponer los histogramas. Para ello, conviene cambiar el tipo de gráfico a step y normalizar el histograma con density=True para que el área bajo la curva sea 1. Entonces, el eje y queda expresado en “densidad de mediciones”.
fig = plt.figure(figsize=(6, 3))
axes = fig.subplots()
axes.hist(datos_1, bins="auto", histtype="step", density=True)
axes.hist(datos_2, bins="auto", histtype="step", density=True)
axes.set_ylabel("Densidad de mediciones")
None
Pueden ver más sobre histogramas en Silberberg (2022).
Cuando los datos no son uniformes, como en el ejemplo de arriba, una medida de la dispersión es la desviación estándar muestral:
\sigma_T = \sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N (T_i - \bar{T})^2} \tag{4}
donde \bar{T} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N T_i \tag{5} es el promedio de las mediciones. Esta es la raiz del promedio de las distancias cuadráticas de las mediciones T_i a su promedio \bar{T}.
A diferencia del “máximo - mínimo”, esta es más “estable” a medida que aumenta la cantidad de datos (ver código interactivo).
Le puede servir conocer las desviaciones estándar del promedio \bar{T}:
\sigma_{\bar{T}} = \frac{\sigma_T}{\sqrt{N}} \tag{6}
y de la desviación estándar \sigma_T:
\sigma_{\sigma_T} = \frac{\sqrt{2} \, \sigma_T}{\sqrt{N-1}} \tag{7}
que dependen de la cantidad de mediciones N que usaron para calcularlos.
Para calcular el promedio y desviación estándar:
m = np.mean(datos) # promedio
s = np.std(datos, ddof=1) # desviación estándarPara tomar un subconjunto de las mediciones, por ejemplo, desde la 3ra hasta la 7ma medición (sin incluirla esta última):
datos[3:7]Generalmente, al dar un valor para la precisión de una medición, no damos un intervalo que contenga nuestra magnitud de interés sino que decimos que hay cierta probabilidad de que lo contenga.
Compare esta cantidad \sigma_T con el ancho visual del histograma.
¿Qué porcentaje de las mediciones cae en \bar{T} \pm k \cdot \sigma_T? Pruebe con k \in \{1, 2, 3\}.
k = 1
datos_dentro = (datos > m - k * s) & (datos < m + k * s)
cant_dentro = np.count_nonzero(datos_dentro) / np.size(datos_dentro)En la Sección 4.1.1, se puede obtener que el error relativo \sigma_g / g solo depende de los errores relativos en el largo L y el periodo T. ¿Dependen estos de cómo armemos y midamos el péndulo?
Para la medición del largo L del péndulo, su error \sigma_L es independiente del valor de L y está dado por la resolución de la cinta métrica (si estamos midiendo bien). Por lo tanto, \sigma_L / L se achica al aumentar L. Es decir, para mejorar el error en g nos convendría armar un péndulo más largo. Con un péndulo el doble de largo, se reduce el error que contribuye L a la mitad.
Pero con un péndulo el doble de largo, el periodo T es 4 veces más grande (ver Ecuación 1). ¿Qué sucede con la precisión \sigma_T? ¿También se mantiene constante \sigma_T y, por lo tanto, se reduce el error relativo \sigma_T / T?
Es razonable pensar que la variación en los periodos está relacionada al tiempo de respuesta del observador para accionar el cronómetro. Una forma de medir este tiempo de respuesta es:
El cronómetro incluido en utilidades incluye un modo para simular esto.
Repita estas mediciones múltiples veces y calcule:
Al medir el periodo, “medimos” dos tiempos: el de inicio t_i y el del final t_f. El periodo es T = t_f - t_i.
Si tanto t_i como t_f tienen un error e_i y e_f dado por el tiempo de respuesta al medirlos:
\begin{cases} t_i^{medido} = t_i^{real} + e_i \\ t_f^{medido} = t_f^{real} + e_f \end{cases}
estos se cancelan en promedio:
\begin{align*} T^{medido} &= t_f^{medido} - t_i^{medido} \\ &= \left( t_f^{real} + e_f \right) - \left( t_i^{real} + e_i \right) \\ &= \left( t_f^{real} - t_i^{real} \right) + \left( e_f - e_i \right) \\ &= T^{real} + e_T \end{align*}
En promedio, e_T = 0 y su desviación estándar es \sqrt{2} veces la del tiempo de respuesta que midieron.Al medir repetidas veces el periodo con un cronómetro, se observa una dispersión en las mediciones. Si esta se debe a errores de medición, podemos reducir la incerteza combinando múltiples mediciones.
La dispersión podría no deberse a un error de medición si el cambio en el periodo T se debe a cambios en la longitud L. Por ejemplo, imaginen que desarman y vuelven a armar el péndulo para cada medición: podría ser que haya una variación en L menor al error de medición de L que produzca un cambio en T mayor al error de medición en T.
Una forma de reducir la incerteza de una medición es promediar los resultados. Con N mediciones independientes \{ T_1, \ldots, T_N \}, cuyo error de medición estimamos con la Ecuación 4, obtener una mejor estimación del periodo T promediando estos valores (Ecuación 5). El error del promedio está dado por:
\sigma_{\bar{T}} = \frac{\sigma_T}{\sqrt{N}}
¿Cuántas mediciones tendríamos que hacer para que el error del periodo sea despreciable? (Ver Sección 4.1.2)
Si medimos el tiempo acumulado t_N por N oscilaciones consecutivas, este valor va a ser N veces más grande que el periodo T. Luego, si dividimos por N, podemos obtener otra estimación distinta del periodo:
T_N = \frac{t_N}{N}
que llamamos T_N para diferenciarlo de la estimación que se obtiene promediando, \bar{T}.
Por propagación de errores (Ecuación 3), tenemos:
\sigma_{T_N} = \frac{\sigma_{t_N}}{N}
donde \sigma_{t_N} es el error en la medición del tiempo acumulado t_N.
A diferencia del promedio, cuyo error se reduce como 1/\sqrt{N}, este error parece reducirse como 1/N. Pero, si \sigma_{t_N} creciera con N, podríamos no tener una ventaja con este método.
Entonces, ¿nos conviene usar este método o no? ¿Cuántas mediciones tendríamos que hacer con este método? (Ver Sección 4.3).
Para esta entrega, vamos a realizar únicamente la secciones de “Desarrollo experimental” y “Resultados” de un informe.
La preguntas a responder son:
Presenten sus mediciones de manera gráfica, realizando entre 1 y 3 figuras que le ayuden a responder estas preguntas. Utilice el epígrafe de las figuras para describir la figura, no para explicar las conclusiones que derivan de estas. Escriba un texto que se apoye en estas figuras para responder las preguntas.