1 Medición de pi
1.1 Objetivos
- Realizar mediciones directas de forma repetible y evaluar su incertidumbre.
- Aplicar la propagación de errores para mediciones indirectas.
- Usar la acumulación de mediciones para reducir la incertidumbre.
- Utilizar la propagación de errores para planificar el experimento.
- Documentar y reportar el protocolo experimental.
1.2 Materiales a utilizar
Se dispone de:
- una regla
- múltiples réplicas de un objeto circular
1.3 Actividades
1.3.1 Mediciones directas
Para determinar la constante del círculo \pi, medir el diámetro d y perímetro p de un círculo:
\pi = \frac{p}{d} \tag{1}
- ¿Se obtiene los mismos valores al repetir las mediciones?
- ¿Cuáles son sus incertezas?
1.3.2 Propagación de errores independientes
A partir de d, p y sus errores (\sigma_d y \sigma_p), calcule \pi y su incerteza \sigma_{\pi} utilizando la fórmula de propagación de errores independientes (Bevington y Robinson 2003, 39):
\begin{align} \sigma_y^2 &= \text{Var}(y) \\ &= \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial x_i} \right)^2 \text{Var}(x_i) \\ &= \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial x_i} \sigma_{x_i} \right)^2 \end{align} \tag{2}
donde y es una función de mediciones independientes \{ x_1, \ldots, x_n \}:
y = f(x_1, \ldots, x_n)
No reemplazar por números hasta el final.
- ¿Obtiene un resultado compatible con el valor conocido de \pi?
1.3.3 Errores relativos
Como la Ecuación 1 es un producto, la ecuación de propagación de errores depende de los errores relativos:
\text{error relativo} \coloneqq \frac{\sigma_y}{y}
Reescriba la expresión a la cual llegó para \sigma_{\pi} en términos de los errores relativos:
\left\{ \frac{\sigma_{\pi}}{\pi}, \frac{\sigma_{p}}{p}, \frac{\sigma_{d}}{d} \right\}
Divida por \pi a ambos lados.
- Si pudiese mejorar la precisión de únicamente una de las magnitudes (d o p), ¿cuál le convendría elegir para mejorar su incerteza de \pi?
No siempre nos interesa el error relativo. Considere el error \sigma_z para la suma z (o resta) de dos mediciones (x e y):
\begin{align*} z &= x + y \\ \sigma_z^2 &= \sigma_x^2 + \sigma_y^2 \end{align*}
1.3.4 Reducción de la incerteza de medición por acumulación de mediciones
Supongamos que tenemos N = 10 objetos iguales cuyo largo L es 0.992 como se muestra en la Figura 1.
Si tratamos de medir el largo L_1 de uno solo, reportaríamos L_1 = 1.0 \pm 0.1
En cambio, si medimos el largo L_N de N consecutivos, obtenemos L_{10} = 9.9 \pm 0.1 con el mismo error que antes. Luego, si dividimos por N y propagamos el error, obtenemos otra estimación para L: L = \frac{L_{10}}{10} = 0.99 \pm 0.01 donde redujimos el error en un factor 10 y ganamos un decimal.
Acumular mediciones de objetos idénticos nos permite reducir el error.
¿Es importante que el error de medición al acumular mediciones se mantenga igual? ¿Qué sucedería si al medir N acumulados el error fuese 2N veces más grande? ¿Y si fuese N/2 veces más grande? Ayuda: escribir la propagación de errores.
¿Puede utilizar esta idea para mejorar la estimación de \pi?
Para asegurarse de que el error de medición está dado por la resolución de la regla, repita la medición de los diámetros o perímetros acumulados. Es decir, no levante y vuelva a apoyar la regla, sino desarme y vuelva a armar el arreglo de las arandelas.
1.3.5 Errores sistemáticos
Imagine que su regla estuviera “estirada”, por ejemplo, por efecto de la temperatura si fuese de metal, y, en lugar de medir una distancia x, midiera x_a = a x, donde a > 1 y x es la longitud real.
- ¿Cambiaría su determinación del diámetro y/o perímetro?
- ¿Y la de \pi?
Si (re-)calibráramos la regla contra un patrón, podríamos determinar esta constante a con una incerteza \sigma_a. Con esta, podríamos corregir las determinaciones del diámetro y perímetro:
\begin{cases} d = d_a / a \\ p = p_a / a \end{cases} \tag{3}
donde, adémas de los errores de medición de d_a y p_a, los errores de d y p tendrían un factor común dado por \sigma_a.
Como no conocemos el a_{real}, sino que calibramos y obtenemos un a con cierta incerteza, nuestras determinaciones de p y d (Ecuación 3) van a ser un poco más grandes o un poco más chicas de lo que deberían. Pero ambas para el mismo lado: es un error sistemático ya que todas las mediciones corregidas van a compartir el mismo a. Y para la determinación de \pi, este error común se cancela.
Analice que sucedería si la regla tuviese corrido el origen, tal que midiera x_a = x + a. ¿Y si en lugar de calcular la división de dos mediciones y_a / x_a, le interesara calcular una resta de dos mediciones y_a - x_a?
En general, las mediciones corregidas van a estar correlacionadas ya que comparten la medición del factor de calibración a. Es importante tenerlo en cuenta si se hacen cuentas que involucren d y p, ya que no siempre se cancela esta correlación. Ver apunte de propagación.
1.4 Entrega
Vamos a reportar el protocolo de medición que utilizaron para realizar mediciones acumuladas del perímetro y diámetro.
Esto corresponde a una de las secciones de un informe, donde se describen los procedimientos y métodos utilizados para llevar a cabo el experimento. Esta descripción tiene que servirle a alguien que no hizo el experimento para poder reproducir el experimento y llegar a los mismos resultados.
En esta sección, se detallan los materiales e instrumentos utilizados, las condiciones experimentales y los pasos seguidos durante la realización del estudio de manera concisa. Se suele incluir un esquema que ayude a explicar la configuración experimental.
Sobre las figuras (esquema), tienen que:
- estar mencionadas en el texto (si no, son decorativas),
- tener un epígrafe describiendo el contenido de la figura,
- no incluir cosas irrelevantes para la explicación.
Como ejemplo, pueden ver la Figura 1, que incluye epígrafe y está numerada para poder hacer referencia a ella en el texto.