Listas e iteraciones

Contenido

Listas e iteraciones#

Motivación: evaluar un polinomio de grado $n$#

En la sección anterior, escribimos la siguiente función, que nos permite evaluar un polinomio cuadrático $f(x) = ax^2 + bx + c$:

def evaluar_cuadratica(x, a, b, c):
    return a * x**2 + b * x + c


evaluar_cuadratica(5, a=1, b=2, c=3)

¿Cómo podemos hacer para evaluar un polinomio de grado $n$?

Empecemos con el caso lineal, $f(x) = ax + b$, y supongamos que queremos evaluar $f(x) = 2 x + 3$ en $x=1$.

Opción 1#

Podemos escribir otra función para evaluar un polinomio lineal:

def evaluar_lineal(x, a, b):
    return a * x + b


evaluar_lineal(1, a=2, b=3)

¿Vamos a tener que escribir una función para cada grado?

Debe haber una mejor manera…

Opción 2#

Una lineal es una cuadrática sin coeficiente cuadrático.

Entonces, podríamos reusar la función evaluar_cuadratica:

evaluar_cuadratica(1, a=0, b=2, c=3)

Llegamos al mismo resultado, y nos ahorramos escribir una nueva función. ¡Genial!

Pero… es confuso usar una función llamada evaluar_cuadratica para evaluar una lineal.

Además, hay que acordarse que el a de la lineal es el b de la cuadrática.

Y no nos sirve para polinomios de mayor grado.

Opción 3#

Si queremos escribir un código para polinomios de grado $n$, veamos como es la fórmula para dichos polinomios.

Un polinomio de grado $n$ se puede escribir como:

\[ f(x) = c_n x^n + c_{n-1} x^{n-1} + \ldots + c_2 x^2 + c_1 x + c_0 \]

donde numeramos los coeficientes $c_k$ según la potencia $k$ de cada término.

Entonces, para poder definir una función general evaluar_polinomio, necesitamos de 2 cosas:

definir «variables numeradas»,
sumar tantos términos como coeficientes que hayamos recibido.

Si pudiésemos definir variables numeradas, podríamos saber que la variable $k$-ésima corresponde al coeficiente del término $k$-ésimo.

Definir variables numeradas no es simplemente poner un número en el nombre de las variables. Por ejemplo,

def evaluar_polinomio(x, c_0, c_1):
    ...

es evaluar_lineal con otros nombres para sus parámetros, y solo acepta dos coeficientes.

Para poder hacer esto, vamos a introducir 3 herramientas nuevas:

la lista,
el bucle for,
y la función range.

Listas#

La lista es una estructura de datos que nos permite definir «variables numeradas».

Para definir una lista, ponemos los elementos entre corchetes, [], separados por comas.

Por ejemplo, definamos una lista con los primeros 5 números primos:

primos = [2, 3, 5, 7, 11]

primos

[2, 3, 5, 7, 11]

Para conocer el largo de una lista, podemos usar la función len:

len(primos)

Acceder a una variable numerada#

Para acceder a un elemento de la lista, se usa la notación lista[numero].

La lista numera sus elementos desde 0.

Por ejemplo, para acceder al primer elemento, usamos:

primos[0]

Al segundo elemento:

primos[1]

Si tratamos de acceder a un elemento que no existe, nos arroja un error:

primos[10]

---------------------------------------------------------------------------
IndexError                                Traceback (most recent call last)
Cell In[8], line 1
----> 1 primos[10]

IndexError: list index out of range

Reasignar, agregar y eliminar elementos#

Podemos cambiar un elemento al igual que cuando reasignamos una variable:

primos[0] = 42

primos

[42, 3, 5, 7, 11]

Pero si queremos agregar nuevos elementos, no podemos asignar a posiciones que aún no existen:

primos[5] = 13

---------------------------------------------------------------------------
IndexError                                Traceback (most recent call last)
Cell In[10], line 1
----> 1 primos[5] = 13

IndexError: list assignment index out of range

Para agregar nuevos elementos, tenemos que usar el método append, que los agrega al final:

primos.append(13)

primos

[42, 3, 5, 7, 11, 13]

Nota: los métodos son funciones, con una pequeña diferencia que no es relevante discutir ahora.

Ahora sí, en la posición 5 está el sexto número primo:

primos[5]

Para borrar un elemento, la sintaxis es igual a la de borrar una variable.

Borremos el primero, que no es un número primo:

del primos[0]

primos

[3, 5, 7, 11, 13]

Pero, noten que cambió el largo y las posiciones en la lista. El número 3, que antes estaba en la posición 1, ahora está en la posición 0:

primos[0]

Ejercicio 1#

Reescribir la función evaluar_cuadratica(x, a, b, c) como evaluar_cuadratica(x, c) donde c es una lista de coeficientes.

Evaluar el polinomio $f(x) = 2 x^2 + 3 x + 5$ en $x=7$.

# Escriba su solución aquí

Solución#

Este es un primer paso. pero la función todavía solo sirve para cuadráticas.

Si le damos el coeficiente del término cúbico, lo ignora:

evaluar_cuadratica(7, [5, 3, 2, 100])

Y si le pasamos una lineal, nos arroja un error:

evaluar_cuadratica(7, [5, 3])

---------------------------------------------------------------------------
IndexError                                Traceback (most recent call last)
Cell In[18], line 1
----> 1 evaluar_cuadratica(7, [5, 3])

Cell In[16], line 2, in evaluar_cuadratica(x, c)
      1 def evaluar_cuadratica(x, c):
----> 2     return c[0] + c[1] * x + c[2] * x**2

IndexError: list index out of range

Como solo hay dos coeficientes, cuando trata de acceder al tercer coeficiente, c[2], nos dice que el índice de la lista se fue del rango válido.

Iteraciones y bucle `for`#

En cada término del polinomio, necesitamos hacer una cuenta similar, c[k] * x**k para k de 0 a n.

Entonces, necesitamos una forma de repetir una operación (c[k] * x**k), cambiando una variable (k).

Empecemos con un caso más «visual»: imprimir los números 2, 3 y 5, cada uno en una linea distinta.

Podemos hacerlo manualmente:

print(2)
print(3)
print(5)

2
3
5

Lo que cambia en cada linea es el argumento de print.

Si en lugar de pasarle un número, le pasamos una variable, las lineas que usan print son todas iguales:

x = 2
print(x)

x = 3
print(x)

x = 5
print(x)

2
3
5

¡Empeoramos las cosas, ahora es más largo!

Pero, tenemos una forma de decirle a Python que repita el mismo código, variando la asignación x = ...:

for x in [2, 3, 5]:
    print(x)

2
3
5

Se lee como: «para cada x en la lista [2, 3, 5], hace print(x)».

Este código hace exactamente lo mismo al de la celda anterior.

Se imaginarán que es muy útil si tenemos que repetir algo muchas veces.

Podemos decirle a Python como se hace una vez y que lo repita para todos.

Sintaxis del bucle `for`#

La sintaxis en general es

for variable in variables:
    bloque_de_codigo

donde for e in son palabras claves de Python, y variables es algún objeto que sepa pasarnos sus elementos de a uno.

Por ejemplo, la lista sabe pasar sus elementos en orden.

Para cada elemento de variables, Python lo asigna en variable, y corre el bloque de código una vez.

Al igual que al definir una función, Python reconoce cual es el bloque de código a repetir porque está indentado.

Ejercicio 2#

Muchos problemas se pueden descomponer en iterar una misma operación múltiples veces.

Por ejemplo, cuando queremos sumar 4 números:

2 + 3 + 5 + 7

los vamos sumando de a dos. Primero 2 + 3, luego al resultado le sumamos 5 y finalmente 7:

(((2 + 3) + 5) + 7)

Es decir, siempre vamos sumando el siguiente número a la suma de los anteriores: total = total + siguiente_numero

Si queremos aplicar esta idea, solo nos falta algo: ¿qué pasa al principio, cuando siguiente_numero es el primer número? ¿Cuánto vale total?

Antes de sumar el primer número, el total es 0, ¿no?

Entonces, este algoritmo nos serviría para sumar una lista de números:

total = 0

numero = 2
total = total + numero

numero = 3
total = total + numero

numero = 5
total = total + numero

numero = 7
total = total + numero

total

que vemos que llegamos al mismo resultado.

Reescríbanlo con un for ... in ...:

numeros = [2, 3, 5, 7]

# Escriba su solución aquí

Solución#

Ejercicio 3#

Reescribir la función evaluar_cuadratica(x, c) usando un bucle for para sumar los términos.

Evaluar el polinomio $f(x) = 2 x^2 + 3 x + 5$ en $x=7$.

Ayuda: se puede reescribir el polinomio como una sumatoria, $$ f(x) = c_0 x^0 + c_1 x^1 + c_2 x^2 = \sum_{k=0}^2 c_k x^k $$ ¿Qué es lo que varía en cada término?

# Escriba su solución aquí

Solución#

La función `range`#

Lo último que nos falta es que los índices que pusimos a mano,

for i in [0, 1, 2]:
    ...

vayan de 0 hasta el final de la lista.

Si queremos iterar sobre números desde 0 hasta un dado n, sin incluir a este último, podemos usar la función range:

for x in range(3):
    print(x)

0
1
2

que nos va pasando los números de a uno.

Esta función genera los números enteros del intervalo cerrado-abierto $[0, n)$.

Es útil que no incluya el último número, ya que podemos hacer range(len(lista)) para que genere los índices de la lista.

primos = [2, 3, 5]

for i in range(len(primos)):
    primo = primos[i]
    print(primo)

2
3
5

Aunque, si solo queríamos acceder a la posición $i$-ésima, y no usamos el índice i para nada más, no hace falta usar range:

primos = [2, 3, 5]

for primo in primos:
    print(primo)

2
3
5

La función range tiene otras dos variantes:

podemos cambiar el número en el que inicia con range(a, b), que genera el intervalo $[a,b)$

for x in range(2, 5):
    print(x)

2
3
4

podemos decirle que dé saltos mayores a 1 entre número y número con range(a, b, salto)

for x in range(4, 9, 2):
    print(x)

4
6
8

Ejercicio 4#

Reescribir la función evaluar_cuadratica para un polinomio de grado $n$.

Pruebe evaluarla con polinomios de distinto grado.

# Escriba su solución aquí

Solución#

Ahora sí, escribimos una función para evaluar un polinomio de grado $n$.

Para chequear que esté bien, evaluemos para casos sepamos la respuesta.

Por ejemplo, potencias de 10. Es decir, $x^n$ para $x=10$

Para $f(x) = x^2$:

evaluar_polinomio(10, [0, 0, 1])

Para $f(x) = x^3$:

evaluar_polinomio(10, [0, 0, 0, 1])

Para $f(x) = 1$:

evaluar_polinomio(10, [1])

¿Qué pasa si evaluamos en x=0?

En nuestra solución, estamos calculando x**0 para el término constante.

En matemática, $0^0$ no está definido.

En computación, 0**0 da 1.

Pruébenlo.

Listas e iteraciones

Contenido

Listas e iteraciones#

Motivación: evaluar un polinomio de grado \(n\)#

Opción 1#

Opción 2#

Opción 3#

Listas#

Acceder a una variable numerada#

Reasignar, agregar y eliminar elementos#

Ejercicio 1#

Solución#

Iteraciones y bucle for#

Sintaxis del bucle for#

Ejercicio 2#

Solución#

Ejercicio 3#

Solución#

La función range#

Ejercicio 4#

Solución#

Iteraciones y bucle `for`#

Sintaxis del bucle `for`#

La función `range`#