Error sistemático y modelado

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Error sistemático y modelado#

Bajo la aproximación de pequeñas oscilaciones, el periodo de oscilación $T$ de un péndulo de largo $L$ es:

(1)#

T = 2 π \sqrt{\frac{L}{g}}

donde $g$ es la aceleración de la gravedad.

Si medimos el periodo $T$ para múltiples largos $L$ , podemos obtener $g$ a partir de un ajuste por cuadrados mínimos, ya sea que ajustemos por la ecuación (1) o por su cuadrado:

(2)#

T^{2} = (2 π)^{2} \frac{L}{g}

En la práctica, se suele observar que hay que agregar una constante al ajuste. Sin embargo, no es lo mismo agregar una constante en (2)

(3)#

L = g {(\frac{T}{2 π})}^{2} + L_{0}

que en (1)

\sqrt{L} = \sqrt{g} (\frac{T}{2 π}) + B

En (2), se puede interpretar esta constante $L_{0}$ como un error sistemático en la longitud $L$ . En cambio, en (1), se podría reinterpretar $B$ como un error sistemático $T_{0}$ en el periodo $T$

(4)#

L = g {(\frac{T + T_{0}}{2 π})}^{2}

Veamos que sucede si simulamos uno de estos casos y ajustamos por los modelos incorrectos.

g = 9800  # mm/s


def periodo(L, g):
    """Periodo del péndulo en la aproximación de pequenas oscilaciones.

    T = 2π √(L/g)
    """
    return 2 * np.pi * np.sqrt(L / g)

Simulando una medición#

Para entender que pasa al analizar incorrectamente las mediciones, por ejemplo, cuando se ignora el efecto del error sistemático en la longitud, necesitamos simular correctamente el proceso de medición.

Hipótesis#

Para la simulación, vamos a asumir dos cosas:

tenemos un error sistemático $L_{0}$ en la longitud $L$ ,
el error en el periodo $T$ es despreciable frente al error en la longitud $L$ .

Este último punto es razonable, ya que podemos medir muchos periodos para una dada longitud, y reducir el error de $T$ . En cambio, al medir $L$ , estamos limitados por el error de resolución $Δ L$ de la cinta métrica.

Error por resolución en la longitud $L$ #

Al preparar el experimento, se arma el péndulo de una dada longitud $L_{r e a l}$ , que cuya medición $L_{m e d i d o}$ se determina con una dada precisión $Δ L$ . Entonces, para simular la medición, vamos a generar un $L_{real} y redondearlo. Por ejemplo,

\begin{array}{r} \begin{aligned} L_{r e a l} & = 500.325 \dots mm \\ L_{m e d i d o} & = 500 mm \\ Δ L & = 1 mm \end{aligned} \end{array}

donde asumimos que medimos con una cinta metrica de $1 mm$ de resolución.

Por otro lado, el periodo $T_{r e a l}$ lo tenemos que calcular a partir del $L_{r e a l}$ , no del $L_{m e d i d o}$ . Después de todo, el péndulo (o la naturaleza) sí conoce el largo real. Y el periodo medido $T_{m e d i d o}$ , como asumimos que podemos hacer muy pequeño el error, va a ser igual al real: $T_{m e d i d o} = T_{r e a l}$ .

Con un error sistemático $L_{0}$ #

Para considerar un error sistemático $L_{0}$ , se lo sumamos al $L_{r e a l}$ antes de «medir» (redondear):

\begin{array}{r} \begin{aligned} L_{r e a l} & = 500.325 \dots mm \\ L_{0} & = 0.431 \dots mm \\ L_{m e d i d o} & = 501 mm \\ Δ L & = 1 mm \end{aligned} \end{array}

Al igual que antes, el $T_{r e a l}$ se calcula a partir del $L_{r e a l}$ , sin considerar el error sistemático ni la medición.

Efecto del error sistemático#

Al realizar una simulación, tenemos acceso a los valores reales, sin «error de medición». Antes de hacer ajustes, podemos comparar las «mediciones» contra los valores reales. Para eso, vamos a realizar simulaciones para diferentes parámetros, y gráficar tanto $L$ vs $T^{2}$ como $\sqrt{L}$ vs $T$ .

Sin error sistemático#

Si no tenemos error sistemático, en ambos gráficos se observa una relación lineal, y los residuos se distribuyen aleatoriamente alrededor del 0.

graficar_vs_real(experimento(L_min=50, N_largos=30, L0=0))

../_images/02ba4dcbcbb62a0f2fc8e3e1c1e6d2c51f857fc626c7215611a136bc228be094.png

Error sistemático en la longitud#

Si simulamos un error sistemático pequeño, $L_{0} = 1 mm$ , vemos que la estructura en los residuos es diferente en cada caso.

Para $L$ vs $T^{2}$ , podemos se distribuyen aleatoriamente alrededor de $1$ , correspondiendo al error sistemático añadido. Esto se podría corregir agregando una constante, como en (3).

En cambio, para $\sqrt{L}$ vs $T$ , los residuos no se distribuyen aleatoriamente alrededor de un número. Por lo que no se podría corregir añadiendo una constante, como en (4).

graficar_vs_real(experimento(L_min=50, N_largos=30, L0=1))

../_images/64806823e468f75f38c3ef42f4ae7a1b18fba3d915e04c2552fe9a319ca2163c.png

Rango de longitudes medidas#

Con el mismo $L_{0}$ que en caso anterior, pero cambiando el rango de longitudes medidas, no observamos una diferencia en la estructura de los residuos en ambos casos. A priori, ambos podrían ajustarse con los modelos (3) y (4), a pesar de que este último es incorrecto.

graficar_vs_real(experimento(L_min=500, N_largos=30, L0=1))

../_images/23a85c0530d57e49bcf7f27e209e4ecc450cb0a36ff6191bfdf22b6e76cf3468.png

Aumentando la precisión en $L$ #

Si aumentamos la precisión de medición de $L$ , pasando de un $Δ L = 1 mm$ a $Δ L = 0.1 mm$ , volvemos a distinguir entre ambos casos.

graficar_vs_real(experimento(L_min=500, N_largos=30, L0=1, decimales=1))

../_images/85c6ab551caab5138672a2e282beb53e50b3bccbd9b6c3b7cdd16f97c9d7d83c.png

Ajustes y el $g$ estimado#

Realicemos simulaciones para diferentes parámetros experimentales y observemos que sucede con la estimación de $g$ .

Definamos 3 funciones para ajustar, correspondientes a las ecuaciones (1), (3) y (4).

def sin_constante(T, g):
    Tp = T / (2 * np.pi)
    return g * Tp**2


def sistematico_longitud(T, g, L_0):
    Tp = T / (2 * np.pi)
    return g * Tp**2 + L_0


def sistematico_periodo(T, g, T_0):
    Tp = T / (2 * np.pi)
    return g * (Tp + T_0) ** 2

En lo siguiente, simularemos una medición y ajustaremos las 3 funciones, gráficando el ajuste y los residuos. Además, repetiremos estre proceso $N = 1000$ veces, graficaremos histogramas de la estimación de $g$ para cada uno de estos modelos.

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def repetir_experimentos(medir, N_experimentos=1000):
    def create_plot_axes(fig):
        ax_plot, *ax_residuos = fig.subplots(4, sharex=True)
        ax_plot.set(ylabel="Longitud [mm]")
        for ax in ax_residuos:
            ax.set(ylabel="Residuos [mm]")
        ax.set(xlabel="Periodo [s]")
        fig.align_ylabels()
        return ax_plot, ax_residuos

    def create_hist_axes(fig):
        _, fig = fig.subfigures(2, height_ratios=[1, 4])
        ax = fig.subplots()
        ax.set(xlabel="Ac. de la gravedad [mm/s]")
        return ax

    def ajustar_y_graficar(func, T, L, L_err, *, color, ax_plot, ax_residuos):
        p, err = ajustar(func, T, L, L_err)
        L_pred = func(T, *p)

        ax_plot.plot(T, L_pred, color=color, linestyle="--")
        ax_residuos.errorbar(T, L - L_pred, L_err, fmt="o", capsize=5, color=color)
        ax_residuos.axhline(0, color=color)

    figs = plt.figure(figsize=(8, 6)).subfigures(ncols=2)
    ax_plot, ax_residuos = create_plot_axes(figs[0])
    ax_hist = create_hist_axes(figs[1])

    labels = ("Sin constante", "Longitud $L_0$", "Tiempo $T_0$")
    funcs = (sin_constante, sistematico_longitud, sistematico_periodo)
    colors = ("C0", "C1", "C2")

    T, L, L_err, _ = medir()
    ax_plot.errorbar(T, L, L_err, fmt="o", capsize=5, color="black")
    for ax, func, color in zip(ax_residuos, funcs, colors):
        ajustar_y_graficar(
            func,
            T,
            L,
            L_err,
            color=color,
            ax_plot=ax_plot,
            ax_residuos=ax,
        )

    def analisis_multiple():
        T, L, L_err, _ = medir()
        p0, _ = ajustar(sin_constante, T, L, L_err)
        p1, _ = ajustar(sistematico_longitud, T, L, L_err)
        p2, _ = ajustar(sistematico_periodo, T, L, L_err)
        return p0[0], p1[0], p2[0]

    p = np.array([analisis_multiple() for _ in range(N_experimentos)])

    ax_hist.axvline(g, color="black", label="Valor real")
    for label, pi in zip(labels, p.T):
        ax_hist.hist(pi, bins="auto", histtype="step", label=label)
    ax_hist.legend(loc="lower left", bbox_to_anchor=(0, 1))

Sin error sistemático#

Al no tener error sistemático, los tres modelos ajustan bien a las mediciones, a juzgar por los gráficos de los residuos. Con respecto a los histogramas de $g$ , en los tres casos se encuentran centrados alrededor del valor real. Sin embargo, hay una mayor variación en los valores obtenidos para los modelos con constante.

repetir_experimentos(experimento(L_min=100, L0=0, N_largos=30))

../_images/b5057cb7e813ad31a157ea0420b16f916f5bfb88aa84bd012f06d258d4dca67a.png

Error sistemático grande#

Si tenemos un error sistemático «grande», $L_{0} = 5 mm$ , vemos que solo el ajuste que incluye un $L_{0}$ tiene residuos sin estructura. En los histogramas de $g$ , vemos que los valores obtenidos en las sucesivas repeticiones están centrados en el valor real para dicho modelo. En cambio, para el modelo sin constante, o el que modela un error sistemático en el periodo, los histogramas se encuentran corridos. En ninguna iteración, sus valores coincidieron con el valor real.

repetir_experimentos(experimento(L_min=100, L0=5, N_largos=30))

../_images/6cf24f9b9fb5606181aa995819c2aab164957795dd8c44f5a5b07a82c57ca72f.png

Rango de longitudes medidas#

Si achicamos el rango de longitudes medidas, alejándonos de $L = 0$ , el modelo que incluye un error sistemático en $T_{0}$ también ajustaría bien, a juzgar por el gráfico de residuos. Sin embargo, según el histograma, vemos que tiene un sesgo en la estimación de $g$ : siempre estima un valor menor.

repetir_experimentos(experimento(L_min=500, L0=5, N_largos=30))

../_images/294b5e733feb3190ff5f78386647b995badfc7147042b7e9118d516e688f3a90.png

Error sistemático pequeño#

Consideramos un error sistemático pequeño, $L_{0} = 0.1 mm$ , $10$ veces menor que la resolución $Δ L = 1 mm$ de medición.

Si medimos para pocas longitudes, $N = 10$ , se observa un ligero sesgo en el ajuste sin constante, pero no muy significativo.

repetir_experimentos(experimento(L_min=300, L0=0.1, N_largos=10))

../_images/032b96390a3ff7dbfdfe0401def6eb59db402b68909f9619405eecb8e9f27502.png

En cambio, si medimos para más longitudes, $N = 100$ , el sesgo se incrementa en los modelos incorrectos. En particular, para el modelo sin constante siempre se obtuvo valores de $g$ superiores al real.

repetir_experimentos(experimento(L_min=300, L0=0.1, N_largos=100))

/tmp/ipykernel_1998/3907591550.py:9: OptimizeWarning: Covariance of the parameters could not be estimated
  p, cov = curve_fit(func, x, y, sigma=yerr, **kwargs)

../_images/375afd773634598b9b464f95164729763c823d2a0a990d96e3b808abb9b991be.png

Error sistemático y modelado

Contenido

Error sistemático y modelado#

Simulando una medición#

Hipótesis#

Error por resolución en la longitud L#

Con un error sistemático L0#

Efecto del error sistemático#

Sin error sistemático#

Error sistemático en la longitud#

Rango de longitudes medidas#

Aumentando la precisión en L#

Ajustes y el g estimado#

Sin error sistemático#

Error sistemático grande#

Rango de longitudes medidas#

Error sistemático pequeño#

Error por resolución en la longitud $L$ #

Con un error sistemático $L_{0}$ #

Aumentando la precisión en $L$ #

Ajustes y el $g$ estimado#